Onofre TAMARGO Octobre 2001

David ANDRY

Le problème de non linéarité du système OFDM

Christelle Garnier

L’OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing, également appelée modulation à porteuses multiples, est une technique de modulation qui vise à atténuer la sélectivité fréquentielle et temporelle d’un canal de transmission haut débit, notamment due aux effets d’échos et de réflexion à l’intérieur du canal. Pour cela, l’OFDM permet la modulation du signal haut débit par une multitude de porteuses à faible débit.

L’OFDM[1] est née dans les années 50-60 mais sans faire vraiment à l’époque beaucoup d’adeptes, faut du développement des circuits électroniques et du traitement numérique du signal qui n’en était qu’à ses balbutiements. L’OFDM apparaît aujourd’hui comme la solution pour de nombreuses applications : les réseaux locaux sans fil (Hiperlan2), la télévision numérique terrestre (DVB), la radiodiffusion audio (DAB) et les mobiles de 4^ème génération.

I. Principe de l’OFDM

On diffuse l’information sur un nombre important de porteuses et on s’affranchit de la sélectivité du canal puisque l’on crée des sous-canaux très étroits pour lesquels la réponse fréquentielle du canal peut être considérée comme constante. Bien que le canal ne soit pas sélectif en ce qui concerne les sous-bandes, la bande totale du canal, elle, est plus grande que la bande de cohérence, et certaines fréquences seront tout de même atténuées plus ou moins fortement. L'idée est donc d'utiliser un codage qui consiste à lier des éléments d'information suffisamment éloignés statistiquement. Un codage convolutif permet ainsi de lutter contre les erreurs introduites par les évanouissements profonds (interférence intrasymboles).

En tenant compte de l’effet multivoies du canal radiomobile, la condition d’orthogonalité n’est plus maintenue au récepteur provoquant ainsi l’interférence intersymboles. La solution à ce problème est d’introduire un intervalle de garde après chaque symbole utile. Cet intervalle a donc pour effet d’absorber l’effet multivoies du canal.

Une des principales raisons d'être de l'OFDM est l'utilisation d'une simple IFFT, (transformée inverse de Fourier) pour moduler le signal et d’une FFT (Transformée de Fourier) correspondante lors de la démodulation.

IFFT

FFT

Avantages

ü Utilisation optimale de la bande de fréquence allouée par l’orthogonalisation des fréquences

ü Estimation périodique de la réponse du canal (pas d’égalisation)

ü Haut débit, porteuses modulées avec un débit N fois plus faible que le débit initial

ü Possibilité de s’affranchir des multi-trajets par l’allongement de la durée symbole

ü Multiplicité de la modulation basée sur un algorithme bien connu et peu complexe : FFT

Inconvénient

Du fait de la modulation, un signal OFDM temporel peut-être considéré comme une somme de N sinusoïdes. L'enveloppe de ce signal suit, selon le théorème de la limite-centrale, une loi de Gauss et la probabilité que le signal total ait une grande amplitude est d'autant plus faible que N est grand mais existe cependant et ne doit pas être négligée dès lors que l'on travaille à des forts niveaux d'amplifications. L'idée est de prendre un certain recul et de se garder de dépasser la zone où la réponse de l'amplificateur n'est plus linéaire.

Il serait en effet très dommageable de causer des distorsions non-linéaires dans le cas de l'OFDM. De nombreux dispositifs ont été mis en place pour palier à ce problème, mais sous certaines conditions (nombre de porteuses faible par exemple).L'idée est de trouver une façon de réduire le facteur de crête (caractéristique du "dépassement"), appelé encore PAPR Peak to Average Power Ratio.

Le PAPR se mesure par la formule suivante, il traduit le rapport de l’amplitude maximale au carré sur la moyenne des amplitudes au carré.

II. Mise en évidence du problème du PAPR

Pour comprendre ce problème, nous avons utilisé un programme sous Matlab qui simule une transmission OFDM depuis sa modulation à sa démodulation. Nous avons utilisé comme base ce programme où nous avons réalisé nos tests et implémentations.

1) Programme OFDM sous Matlab

Le programme OFDM utilisé représente une chaîne de transmission OFDM et se décompose en sous blocs. A l’initialisation, il faut déterminer le modèle de propagation du canal :

· Calcul des coefficients du canal gene_indoor_channel

· Calcul de la fonction de transfert du canal calc_channel_transfert_function

Pour chaque symbole transmis sur une porteuse, on obtient la chaîne de transmission suivante :

Le programme permet de mesurer le taux d’erreur binaire TEB de la transmission, d’afficher le signal après modulation et la constellation des symboles QPSK. Le programme permet de fixer le nombre de porteuses, la longueur du préfixe, la valeur du bruit et le nombre de symboles transmis par symboles.

2) Ecrêtage

Le signal OFDM est sensible à la non-linéarité des amplificateurs. C’est à dire que pour une valeur d’entrée

supérieure à un seuil, propre aux caractéristiques de l’ampli,

ce dernier n’est plus linéaire et le signal est donc détérioré.

Nous avons donc simulé un amplificateur non linéaire par une fonction nommée ecretage qui écréte le signal OFDM avant la propagation du canal. Nous avons gardé la phase du signal, nous imposons un seuil pour les porteuses pour lesquelles les amplitudes dépassent la valeur du seuil.

Nous avons fait varié le seuil, et nous nous rendons compte que plus le seuil diminue, plus le TEB est mauvais. Les graphes de l’annexe 1 permettent de comprendre l’effet de l’écrêtage sur les symboles QPSK et sur le signal OFDM. Une valeur de seuil trop faible induit un TEB égal à 0.5, donc le signal dans ce cas là n’est plus exploitable.

Pour des mêmes valeurs de seuil, plus on augmente le nombre de porteuses du signal OFDM, plus le TEB augmente. Le nombre de porteuses du signal OFDM influe donc sur le PAPR.

3) Conclusions

Nous avons donc mis en évidence le problème du PAPR puisque lorsque l’on simule un amplificateur non linéaire en amplitude, on perd de l’information dès que les amplitudes des porteuses OFDM dépassent le seuil de non-linéarité. Une des solutions de réduction du PAPR est de diminuer le nombre de porteuses mais dans ce cas là, le système OFDM perd en efficacité spectrale. Pour un fonctionnement optimum (avec un grand nombre de porteuses) du système OFDM, il faut trouver des solutions afin d’éviter que ces pics d’amplitudes dépassent les zones linéaires des amplificateurs. Les amplificateurs de puissance actuellement présentent encore des fonctions non-linéaires, donc c’est sur la réduction du PAPR du signal OFDM que se portent les efforts de recherche.

III. Solutions existantes pour la réduction du PAPR

Comme nous l’avons vu précédemment, le principale obstacle à la technique OFDM est le PAPR ( Peak to Average Power Ratio ). Néanmoins, des solutions existent ou sont à l’étude.

Il faut différencier deux approches du problème :

· Travailler dans le domaine temporelle du signal OFDM.

· Travailler dans le domaine fréquentiel du signal OFDM

Il existe également deux axes de recherche principaux :

· Ajouter de la signalisation au signal OFDM.

· Opérer sans signalisation (détection aveugle)

1) Réduction du PAPR avec signalisation

Modification dans le domaine fréquentiel

Plusieurs possibilités de modifications des porteuses existent. Il y a la possibilité d’inversion de l’amplitude des porteuses pour éviter leurs addition. On peut également appliquer aux porteuses des déphasages différents et ainsi obtenir un signal OFDM optimal, avec le PAPR le plus bas, cette méthode s’appelle Partial Transmit Sequences. Une autre méthode consiste également à modifier l’ordre des porteuses de façon prédéfinie ou aléatoirement, cette méthode est similaire au Frequency hopping du GSM.

Modification dans le domaine temporel.

Comme dans le domaine fréquentiel, le transmetteur peut également combiner le signal OFDM et choisir la solution qui présente le PAPR le plus faible. La solution est alors transmise via des canaux de signalisation au récepteur afin que ce dernier démodule correctement les signaux OFDM reçus.

Problèmes des solutions avec signalisation : si la porteuse de signalisation (ou les porteuses) est mal démodulée, ou si elle est altérée, la démodulation n’est plus assurée, toutes les informations transmises deviennent fausses. Il faut donc introduire des redondances et des codes correcteurs d’erreurs pour corriger les erreurs éventuelles. Il existe également un autre inconvénient à ces méthodes : du fait de l’ajout de signalisation, l’efficacité spectrale est moins bonne.

2) Réduction du PAPR sans signalisation (Détection aveugle)

Pour réduire le PAPR sans signalisation, deux idées existent.

1^er méthode : Power increase – peak reduction

Dans cette méthode de réduction du PAPR, des porteuses sont réservées pour la réduction du PAPR. L’émetteur choisi l’amplitude de la porteuse qui permet d’obtenir le meilleur signal, c’est à dire le meilleur compromis entre l’augmentation de la puissance et la réduction des pics ( Power increase – peak reduction ).

Mais cette méthode présente l’inconvénient de réduire l’efficacité spectrale.

2^ème méthode : Tone injection (TI)

Cette méthode développé par Motorola consiste à modifier la constellation de points du signal modulé en ajoutant des points (tone injection) qui modifient, dans le domaine temporel, le signal OFDM.

Mais cette méthode présente l’inconvénient de rendre dépendant la performance de la transmission et la distance de garde entre les symboles( nécessaire à l’élément de décision).

Ø Pour nos expérimentations, nous utiliserons une méthode avec détection (plus simple à décoder pour le récepteur). Nous travaillerons dans le domaine fréquentiel, c’est à dire avant la transformée de Fourier inverse. Nous utiliserons la méthode appelée Partial Transmit Sequences (cf. chap. III-1-1) qui consiste à appliquer différents déphasages et à choisir le meilleur signal OFDM généré.

IV. Implémentation de la solution Partial Transmit Sequences dans la chaîne de transmission OFDM

1) Description de la méthode Partial Transmit Sequences

Cette méthode consiste à appliquer des déphasages aux porteuses. Afin d’éviter l’addition constructive des différentes porteuses composant le signal OFDM, chaque porteuse est déphasée d’un déphasage déterminé et identifiable par le récepteur. Comme les porteuses peuvent être déphasées de façon différents, il existe plusieurs signaux OFDM. Le nombre de signaux OFDM est plus ou moins important selon le nombre de porteuses et le nombre de déphasages possibles.

Parmi tous ces signaux, l’émetteur choisit le signal présentant le PAPR le plus faible. Bien sur, le récepteur doit connaître la solution parmi toute les possibilités. L’émetteur ajoute donc au signal OFDM des canaux de signalisation permettant au récepteur de connaître soit les déphasages appliqués, soit la solution choisie parmi toutes. L’ajout de ces canaux de signalisation réduit donc l’efficacité spectrale du signal OFDM.

2) Implémentation de la méthode Partial Transmit Sequences

La modification de la chaîne de transmission OFDM s’effectuera dans la fonction “gene_OFDM_signal”. En effet, c’est dans cette fonction que le signal OFDM est généré avant qu’on lui ajoute du bruit et qu’on le transmette.

Pour nos tests, nous avons utlisé les paramètres suivants :

· Nombre de porteuses : 128

· Nombre de symboles de garde : 4

· Longueur du canal : 2 trajets

· Rapport signal/bruit : 20 dB

· Nombre de symbole par porteuse : 1 (donc 128 bits transmit)

Ø Division des porteuses en 2 groupes 

Pour commencer, nous avons divisé nos porteuses en 2 groupes égaux de 64 porteuses. Nous avons scindé les porteuses de la manière suivante :

Les porteuses sont donc réparties de manière équivalente dans les deux groupes.

Les porteuses du groupe 1 ne sont pas déphasées.

Les porteuses du groupe 2 sont déphasées de 0, π/2 , π et 3π/2.

Pour chaque déphasage, un signal OFDM est généré.

On a ainsi 4 signaux OFDM générés. Pour chaque signal OFDM, on calcule le PAPR en dB. Ensuite, l’émetteur choisit la solution qui présente le PAPR le plus bas.

Puis, non implémenté dans la chaîne, ce dernier ajoute sur des canaux de signalisation le numéro de la solution, pour que le récepteur démodule correctement.

Résultats obtenus :

· PAPR obtenu sans aucun déphasage : 17.14 dB

· PAPR le plus bas obtenu avec 2 groupes : 14 dB

Nous en concluons que le gain apporté par la division en 2 groupes de porteuses est faible. Nous allons donc diviser les porteuses en 4 groupes distincts.

Ø Division des porteuses en 4 groupes :

Nous prenons toujours 128 porteuses que nous divisons en 4 groupes de 32 porteuses. Pour chaque groupes nous appliquerons toujours 4 déphasages différents de : 0, π/2 , π et 3π/2. Nous générons ensuite tout les signaux OFDM possible.

Le nombre de signaux possibles avec 4 porteuses et 4 déphases est de 256 !

Résultats obtenus :

· PAPR minimum avec 4 groupes : entre 6 et 5 dB.

3) Conclusion et perspectives d’amélioration

Nous voyons que avec 4 groupes le gain est plus important. Néanmoins, la complexité de l’émetteur est plus importante. Le temps de calcul devient également beaucoup plus grand : avec 2 groupes et 4 déphasages il y a 4 signaux OFDM possible, avec 4 groupes, donc 256 signaux sont possibles ! Le temps de calcul augmente beaucoup en fonction du nombre de groupes et de déphasages.

A cela, il faut aussi ajouter des canaux de signalisation, donc plus les solutions possibles sont importantes, plus les canaux de signalisation deviennent nombreux.

On en conclut que pour implémenter une solution de réduction du PAPR dans les systèmes OFDM, le traitement numérique du signal (assuré par un DSP) doit être très rapide (donc, beaucoup de consommation de puissance ) et optimisé. Cela posera donc un problème aux mobiles 4^ème génération si ceux ci utilisent des transmissions de type OFDM.

Annexe 1

Comparaison signal avec écrêtage et sans écrêtage.

Valeurs de S_OFDM

---